عمران فایل

محاسبه ممان اینرسی دایره، مستطیل، مثلث و مقاطع مرکب با کمک فرمول

محاسبه ممان اینرسی مقاطع مختلف یا همان گشتاور دوم سطح یکی از محاسبات مفهومی و پایه ای در طراحی سازه است. ممان اینرسی در واقع نحوه پراکندگی یک سطح نسبت به یک نقطه مشخص را نشان می دهد.

در این مقاله جامع ابتدا با بررسی چند مثال، مفهوم ممان اینرسی را بیان می کنیم و در ادامه نحوه محاسبه ممان اینرسی اشکال مختلف مانند مستطیل، مثلث، دایره و مقاطع مرکب را آموزش خواهید دید. اگر پس از مطالعه این مقاله بازهم سوالی داشتید در کامنت های همین مقاله آن را مطرح کنید.

فهرست مطالب این نوشته :

  1. بررسی مفهوم ممان اینرسی
  2. محاسبه ممان اینرسی به کمک فرمول اصلی
  3. ممان اینرسی مستطیل
  4. ممان اینرسی مثلث
  5. ممان اینرسی دایره
  6. قضیه محور های موازی
  7. دوران محورها در محاسبه ممان اینرسی
  8. ممان اینرسی مقاطع مرکب و مقاطع I شکلبه همراه حل مثال
  9. ممان اینرسی مقاطع جدار نازک
  10. جمع بندی فرمول ها و نکات مهم

۱. ممان اینرسی چیست ؟

در یک عضو خمشی عامل مقاوم در برابر خمش، ممان اینرسی است. گشتاور دوم سطح برای اندازه گیری ” عملکرد” مقطع شکل مورد نظر برای مقاومت دربرابر خمش و تغییر شکل حول محور های آن استفاده می شود. به عنوان مثال زمانی که یک تیر تحت بارگذاری قرار می گیرد، تیر خم می شود یا به عبارتی شکم می اندازد و ممان اینرسی عامل مقاومت کننده در برابر خمش است.

واحد ممان اینرسی توان چهارم طول (mm4) است و آن را با I نشان می دهیم. 

هرچه ذرات تشکیل دهنده یک جسم نسبت به محوری که به عنوان محور خنثی از آن یاد می شود، دورتر باشند، مقاومت جسم در برابر خم شدن حول آن محور بیشتر خواهد شد.

محور خنثی (Neutral Axis) برای هر مقطع، محوری است که در هنگام خمش، تنش خمشی بر روی آن صفر باشد، یعنی کشش و یا فشار ناشی از خمش بر روی این محور ایجاد نمی شود، پس این محور تغییر‌شکل هم نخواهد داد.

میزان تنش و تغییر شکل ها به شکل مقطع و ممان اینرسی آن بستگی دارد، به طوری که هر چه ممان اینرسی  بیشتر باشد، میزان تنش و تغییر شکل ها کمتر است.

درک بهتر مفهوم ممان اینرسی با دو مثال

در شکل مقابل دو تخته چوبی وجود دارد که ابعاد و مساحت یکسانی دارند. فردی با شرایط یکسان از روی تخته چوبی عبور می کند. همان طور که در شکل مشخص است، شکل سمت چپ مقاومت بهتری داشته و خم نمی شود؛ چون ذرات تشکیل دهنده اش از محور خنثی دورتر هستند. این مفهوم و تعریف ممان اینرسی را تشریح می کند.

با توجه به اینکه دو جسم مشابه همدیگر هستند، چیزی که تفاوت ایجاد می کند،ممان اینرسی دو جسم است. در واقع چون محور خنثی در این دو حالت متفاوت است، شکل سمت چپ ممان اینرسی بیشتری دارد، در نتیجه مقاومت بیشتری هم در مقابل خمش دارد.

 

مفهوم ممان اینرسی

 

شکل مقابل خط کش یکسانی را نشان می دهد که یک بار از پهلو و بار دیگر از لبه در لبه ی میز قرار دادیم. همانطور که مشخص است با وارد شدن بار یکسان، در حالتی که از لبه قرار داده شده (شکل سمت راست) کمتر خم می شود و به این معنی است که ممان اینرسی بیشتری دارد.

 

تعریف ممان اینرسی

۲. فرمول ممان اینرسی

برای محاسبه ممان اینرسی، یک مقطع عرضی با شکل دلخواه فرض می کنیم.

 

فرمول محاسبه ممان اینرسی

در شکل بالا مقطع عرضی فرضی ما دارای مساحت A است.

ما ناحیه کوچک dA را در نظر می گیریم  که از محور های اصلی به اندازه x و y فاصله دارد.

  • برای خمش حول محور x :

 Ix = ∫ y2 dA

      y = فاصله المان مورد نظر تا محور x

 

  • برای خمش حول محور y :

 Iy = ∫ x2 dA

    x = فاصله المان مورد نظر تا محور y

 

۳. محاسبه ممان اینرسی مستطیل

برای محاسبه ممان اینرسی حول محور xo  ،یک نوار افقی با مساحت b.dy  را انتخاب می کنیم.

اثبات فرمول ممان اینرسی مستطیل

به طور مشابه برای ممان اینرسی حول محور  yo داریم:

فرمول اینرسی مستطیل

 

۴. محاسبه ممان اینرسی مثلث (حول قاعده آن )

برای بدست آوردن ممان اینرسی مثلث حول قاعده، یک نوار موازی با قاعده آن در نظر می گیریم.( مطابق شکل )

محاسبه ممان اینرسی مثلث

 

dA =x dy =[(h-y)b/h] dy

 

اثبات فرمول ممان اینرسی مثلث

 

🔳 ممان اینرسی مثلث حول محور خنثی چگونه بدست می آید؟ در ادامه خواهید آموخت.

 

۵. محاسبه ممان اینرسی دایره

به طور مشابه برای محاسبه ممان اینرسی دایره به شیوه زیر عمل می کنیم :

 

محاسبه ممان اینرسی دایره

 

۶. قضیه محور های موازی

همانطور که مشاهده کردید، ممان اینرسی به کمک انتگرال گیری حول محور های مختلف را بدست آوردیم که البته کاری زمانبر و دشوار است. از طرفی حفظ کردن ممان اینرسی حول محور های مختلف امکان پذیر نیست. گاهی اوقات ما باید ممان اینرسی را در مورد یک محور x یا y دلخواه تعیین کنیم (محوری که در مرکز سطح واقع نشده است). در این حالت، ما می توانیم از قضیه محورهای موازی برای محاسبه آن استفاده کنیم.

قضیه محور های موازی در اثبات ممان اینرسی

به عنوان مثال، محاسبه ممان اینرسی مثلث حول مرکز سطح  آن ( محور ‘BB ) به شکل زیر محاسبه می شود:

محاسبه گشتاور دوم (ممان اینرسی) سطح مثلث

نکته:

  1. مرکز سطح، نقطه ای از مقطع است که محور خنثی از آن می گذرد.
  2. در مرکز سطح مقطع، تنش خمشی صفر است و هرچه از مرکز سطح دورتر شویم، تنش خمشی بیشتر می شود.
  3. ممان اینرسی ارتباط زیادی به نحوه‌ی توزیع جرم در مقطع دارد.یعنی هر چه جرم به مرکز سطح نزدیک‌تر باشد، ممان اینرسی هم کمتر خواهد بود.

 

۷. محاسبه ممان اینرسی با چرخش محور ها

زمانی که نیاز به محاسبه ممان اینرسی حول محوری که موازی با هیچ کدام از محور های اصلی نیست، چه باید کرد؟

می توان با داشتن ممان اینرسی حول هر  دو محور عمود برهم و  زاویه بین محور معلوم و محور مدنظر ، ممان اینرسی را محاسبه کرد. برای شکل زیر می خواهیم ممان اینرسی را حول محور ‘x و ‘y بدست آوریم.

محاسبه ممان اینرسی با چرخش محور ها

ممان اینرسی حول محور x و y با روش های گفته  شده قابل محاسبه است و با استفاده از فرمول های زیر، می توان ممان اینرسی حول محور ‘x و ‘y را محاسبه کرد:

ممان اینرسی با دوران محور ها

 

۸. محاسبه ممان اینرسی مقاطع مرکب و مقاطع  I شکل

مقاطع مرکبی که متشکل از مستطیل هستند، بسیار اهمیت دارند. در این قسمت محاسبه مرحله به مرحله ممان اینرسی مقطع مرکب را یاد خواهیم گرفت:

  • برای محاسبه ممان اینرسی مقاطع مرکب در مرحله اول باید آن ها را به قطعات کوچکتر تقسیم کنیم. مثلا آن ها را به مستطیل های کوچکتر تقسیم می کنیم.

ممان اینرسی مقاطع مرکب

  • محاسبه محور خنثی (NA) که در مرکز ثقل یا مرکز جرم یک شکل واقع است.
  • برای محاسبه ممان اینرسی نیاز داریم که از قضیه محور های موازی استفاده کنیم.

 

قضیه محورهای موازی

 

 

مثال : برای شکل زیر ، ممان اینرسی را حول محور ss محاسبه می کنید:

ممان اینرسی مقاطع  I شکل

 

PartArea=b.dӯA.ӯ =b.d3/12A. ӯ۲Iss=   + A.ӯ۲
A۲۲۰۰۲۳۵۵۱۷۰۰۰۱۸۳۳۳۱۲۱۴۹۵۰۰۰۱۲۱۵۱۳۳۳۳
B۲۲۰۰۱۲۰۲۶۴۰۰۰۸۸۷۳۳۳۳۳۱۶۸۰۰۰۰۴۰۵۵۳۳۳۳
C۲۰۰۰۵۱۰۰۰۰۱۶۶۶۷۵۰۰۰۰۶۶۶۶۷
Total۱۶۲۱۳۳۳۳۳mm4

 

نکته:
تیرهای I شکل، به دلیل دورتر شدن جرم از محور خنثی، ممان اینرسی بیشتری در مقایسه با یک مقطع مستطیل‌شکل با جرم برابر دارند.

 

۹. ممان اینرسی مقاطع جدار نازک

در پایان برای تکمیل شدن بحث، ممان اینرسی مقاطع جدار نازک را هم به طور خلاصه بررسی می کنیم. مقاطع فولادی جدار نازک یک نوع کاربردی از مقاطع تیر است و ورقهای فولادی گالوانیزه ای هستند که در کارخانه، شکل دهی و ساخته می شوند. سختی خمشی مقاطع جدار نازک بسیار بالاتر از مقاطع یکپارچه است .

مقطع جدار نازک دایره شکل :

 

فرمول ممان اینرسی دایره جدار نازک

مقطع جدار نازک مستطیل شکل :

فرمول ممان اینرسی مستطیل جدار نازک

 

۱۰. جمع بندی

پارامتر دیگری به نام ممان اینرسی قطبی( J) هم داریم که در آن ممان دوم سطح را حول یک نقطه محاسبه می کنیم و به شکل زیر محاسبه می شود:

محاسبه ممان اینرسی قطبی (J)

 

 

به دلیل اهمیت بسیار زیادی که ممان اینرسی در محاسبات سازه دارد و هم چنین زمان بر بودن محاسبه آن ها با انتگرال گیری، جدول ذیل، ممان اینرسی مقاطع مختلف را حول دو محور x و محور ‘x (محور خنثی) بیان می کند که بهتر است به خاطر بسپارید.

فرمول ممان اینرسی دایره، مثلث و مستطیل،نیم دایره، ربع دایره و بیضی

 

منابع

  1. کتاب استاتیک مریام ویرایش هشتم
  2. boston university
  3. کتاب استاتیک جانسون
میلاد اسلامی نیا

    نوشته‌های مرتبط

    قوانین ارسال دیدگاه

    • دیدگاه های فینگلیش تایید نخواهند شد.
    • دیدگاه های نامرتبط به مطلب تایید نخواهد شد.
    • از درج دیدگاه های تکراری پرهیز نمایید.
    دیدگاه‌ها

    *
    *

    0