عمران فایل

محاسبه گشتاور نیرو حول یک نقطه و یک محور با ۵ مثال کاربردی

تصور کنید لاستیک ماشین شما پنچر شده است و شما نمیتوانید پیچ لاستیک ها را باز کنید راه حل چیست؟ اولین چیزی که به ذهن همه ما میرسد افزایش نیرو است اما اگر شما مفهوم و محاسبه گشتاور را به درستی آموخته باشید راه حل دیگری هم قطعا به ذهنتان می رسید.

امروز قصد داریم در مورد محاسبه گشتاور نیرو حول یک نقطه یا یک محور صحبت کنیم و با زبانی ساده تمامی مفاهیم را باز کنیم.

فهرست مطالب:

  1. نیرو و گشتاور چه اثراتی بر جسم می گذارند؟
  2. مفهوم گشتاور و کاربردهای آن در طراحی سیستم های سازه ای و مکانیکی چیست؟
  3. محاسبه گشتاور بر اساس چه معیارهایی انجام می شود و حول چه نقاطی از جسم باید آن را محاسبه کرد؟
  4. در محیط های کاری و اجرایی، مفهوم گشتاور در چه زمینه هایی کاربردی می باشد؟
  5. محاسبه گشتاور حول نقطه یا محور دلخواه از یک جسم در فضای دو بعدی و سه بعدی به چه صورت انجام می گیرد؟
  6. کاربرد قضیه ی وارینون در تحلیل سیستم هایی که هم زمان چند نیرو روی آنها اثر می کند، چیست؟

گشتاور چیست؟

احتمالاً هر یک از شما در طول زندگی خود تا به امروز، حداقل یک بار تجربه باز کردن پیچ به وسیله آچار را داشته باشید. زمانی که با دست به آچار نیرو (F) را وارد می کنیم، بسته به نحوه اعمال نیرو، عکس العمل های متفاوتی را از پیچ شاهد خواهیم بود. برای مثال ممکن است که به حالت مایل آچار را گرفته و به آن نیروی زیادی وارد کنیم ولی پیچ به صورت کامل باز نشود، اما اگر همان آچار را به صورت عمودی گرفته و به آن نیرو وارد کنیم پیچ باز شود!

نکته ی قابل توجه در این دو حالت، نحوه ی اعمال نیرو به آچار و فاصله آن تا پیچ است، به این صورت که فاصله محل اثر نیرو تا پیچ هر چقدر بیشتر باشد اثر بیشتری بر چرخش پیچ خواهد داشت.

عامل مهم دیگر، نحوه ی اعمال نیرو است. تجربه نشان می دهد که اگر مطابق شکل ۱-آ، هنگام وارد کردن نیرو دست خود را نیز بچرخانیم، مطمئناً اثر نیرو بر پیچ تغییر خواهد کرد و اگر سعی کنیم نیرو را به صورت عمود بر آچار وارد کنیم (شکل ۱-ب)، این اثر به طور قابل ملاحظه ای افزایش خواهد یافت. پس می توان گفت، اگر ما نیرو را به صورت عمود بر آچار (آچار مسیر انتقال نیرو به پیچ است) وارد کنیم، اثری که نیرو بر چرخش و باز شدن پیچ خواهد گذاشت به مراتب بیشتر می شود. اما هنگام وارد کردن نیرو به صورت مایل، به علت تجزیه نیرو به دو مؤلفه ی عمود بر هم از شدت این تأثیر کاسته می شود.

با توجه به شکل ۱-آ و ۱-ب، اعمال نیرو بر آچار باعث ایجاد دوران حول پیچ (حول محور z) می شود که به آن گشتاور یا لنگر (M) می گوییم. به عبارتی دیگر، اگر دست ما که در فاصله ی d از پیچ قرار دارد، به صورت عمود (sin90=1) و یا به صورت مایل (با زاویه θ بین دست و آچار) بر آچار نیرو وارد کند، گشتاوری به میزان M = Fdsinθ  را در پیچ ایجاد خواهد کرد و جهت آن متأثر از جهت و امتداد نیرو می باشد.

 

توضیح گشتاور در استاتیک (گشتاور چیست)

شکل ۱: تأثیر جهت اعمال نیرو بر گشتاور ایجاد شده در پیچ و چرخش آن

 

ولی اگر مطابق شکل ۱-ج دست خود را در امتداد آچار قرار دهیم، چون نیروی ایجاد شده در آچار و خود آچار بر روی یک امتداد هستند (θ=۰)، صرفاً یک نیروی کششی، از آچار به پیچ می رسد و باعث ایجاد دورانی نخواهد شد. جهت دوران و مقدار گشتاور موارد مهمی هستند که در ادامه به طور مفصل آنها را توضیح می دهیم.

مفهوم جهت دوران و مرکز گشتاور

همان طور که در تعریف گشتاور اشاره کردیم، دوران حول نقطه یا محور دلخواهی که خارج از امتداد نیرو باشد ایجاد می شود، به این نقطه یا محور، مرکز گشتاور می گوییم. به بیانی دیگر می توان گفت که مرکز گشتاور، همان نقطه ای است که نیروی وارد شده بر جسم، سبب دوران جسم حول آن می شود و با توجه به شکل ۲، جهت دوران جسم، به محل اثر، فاصله و اندازه نیرو(ها) در اطراف همین مرکز بستگی دارد. برای تعیین علامت گشتاور از علامت های قراردادی کمک خواهیم گرفت (مثلاً در مباحث دوبعدی، دوران ساعتگرد منفی و دوران پادساعتگرد مثبت و یا می تواند بالعکس باشد) و در تمامی مراحل نیز باید از همین علامت قرار دادی استفاده کرده و تغییری ایجاد نکنیم (معمولاً برای فرض کردن جهت قراردادی دوران، آن را با نوشتن یکی از دوعلامت ⟲یا⟳ در پشت M مشخص می کنیم).

مثلاً در شکل ۲-آ، نیروی F که در فاصله ی d از مرکز قرار دارد باعث ایجاد گشتاوری به اندازه M = Fdsin90 در مرکز گشتاور خواهد شد و چون جهت دوران جسم، با جهت مثبت دوران، هم جهت است؛ پس گشتاور (لنگر) ایجاد شده مثبت خواهد بود، و در شکل ۲-ب چون جهت دوران جسم، خلاف جهت مثبت قراردادی است پس گشتاور ایجاد شده در مرکز، گشتاور منفی خواهد بود.

 

توضیح مفهوم جهت دوران و مرکز گشتاور در استاتیک

شکل ۲: اثر نیرو بر جهت دوران حول مرکز گشتاور

حال که با مفهوم گشتاور و چگونگی تعیین جهت دوران آشنا شدیم، نوبت به محاسبه گشتاور می رسد.

محاسبه گشتاور نیرو حول یک نقطه در فضای دوبعدی

همانطور که آموختیم، گشتاور حول هر نقطه خارج از امتداد نیرو، مقداری مخالف صفر خواهد داشت (مثلاً نقطه ی B در شکل ۳). این نقطه باید در صفحه ی دو بردار F و r قرار داشته باشد (صفحه x-y در شکل ۳). حاصل ضرب زیر با توجه به ضرب بردارها، برداری عمود بر این صفحه خواهد بود که همان گشتاور نیروی F است و آن را با MB بردار نمایش می دهیم.

محاسبه گشتاور نیرو حول یک نقطه

به بیانی دیگر می توان گفت گشتاور (به لحاظ اندازه) با فاصله مرکز گشتاور تا محل اثر نیرو (r یا d) و بزرگی نیرو رابطه ی مستقیم دارد، یعنی  F×r=M

جهت گشتاور نیز همان جهتی است که نیرو سعی دارد جسم را در آن جهت چرخانده و دوران دهد. و یکای آن می تواند N. m یا Ibf.ft باشد. در شکل زیر گشتاور نیروی F حول نقطه B برابر خواهد بود با:

 

محاسبه گشتاور حول یک نقطه در فضای دو بعدی

شکل ۳: گشتاور در فضای دو بعدی حول نقطه ی دلخواه

 

 (یعنی حاصل ضرب هر مؤلفه نیرو در فاصله ی عمودی آن تا مرکز گشتاور)                                                                                          MB =rx × FY – ry × Fx

نکته: مهم ترین نکته ای که باید به آن توجه کنیم انتخاب جهت مثبت قراردادی برای گشتاور است، در شکل ۳ دوران پادساعتگرد را مثبت فرض کرده ایم، پس نیروی Fy که نقطه ی A را به صورت پادساعتگرد حول B دوران می دهد دارای گشتاوری با علامت مثبت بوده و نیروی Fx که نقطه ی A را به صورت ساعتگرد حول B دوران می دهد (خلاف جهت مثبت قراردادی) دارای گشتاوری با علامت منفی خواهد بود. در مسائل دو بعدی همواره فاصله عمودی نیرو از مرکز گشتاور، جهت محاسبه آن کافی است. با توجه به این نکته، در شکل ۴ اگر جهت قراردادی را در نقطه O پادساعتگرد در نظر بگیریم، به راحتی و به شیوه ی زیر می توان گشتاور را محاسبه نمود:

(جهتی که المان دوران می کند را با فلش آبی مشخص کرده ایم.)

 

محاسبه گشتاور بار حول مرکز گشتاور

شکل ۴

محاسبه گشتاور نیرو حول نقطه

 

 

 

  • شکل ۴-آ، نیروی ۲۰۰ نیوتن بر روی محور تیر وارد می شود و در امتداد مرکز گشتاور است، پس هیچ گونه
  • گشتاوری را حول این نقطه ایجاد نمی کند. نکته ی مهم در امتداد قرار گرفتن نیرو با مرکز گشتاور است، اگر نیروی وارده بر وجه بالایی یا پایینی تیر وارد شود چون با مرکز گشتاور فاصله ی ۰٫۲ متری دارد، پس حول نقطه O گشتاور ایجاد خواهد کرد.
  • شکل۴-ب، نیروی۷ کیلو نیوتن در فاصله ی ۳ متری نقطه ی O باعث دوران پادساعتگرد و هم جهت با جهت قراردادی می شود.
  • شکل ۴-ج، باید توجه داشته باشیم که برای تعیین گشتاور، ابتدا باید فاصله عمودی را بدست بیاوریم.

 

نکات محاسبه گشتاور نیرو رفع یک ابهام اساسی

یک تفاوت اساسی که بین تکیه گاه های گیردار و ساده (پین یا مفصل) وجود دارد، نوع واکنش تکیه گاه در مقابل لنگر وارده است. به این صورت که در تکیه گاه های گیردار، یک گشتاور گیرداری به وجود آمده و با گشتاور ایجاد شده در اثر اعمال نیرو مقابله خواهد کرد و از هرگونه دوران در تکیه گاه جلوگیری می کند. ولی در تکیه گاه های ساده، این گشتاور گیرداری صفر بوده و تنها گشتاور حاصل از اعمال نیرو وجود دارد و به همین دلیل در تکیه گاه های ساده دوران خواهیم داشت و در نهایت برای کل سیستم باید تعادل استاتیکی برقرار باشد. پس می توان گفت که اثر گشتاور بر دوران جسم، بسته به شرایط تکیه گاهی با هم متفاوت خواهد بود.

به بیان ساده تر و با توجه به شکل ۵ می توان گفت در نقطه A تکیه گاه گیردار داریم، پس لنگر گیرداری ایجاد شده در تکیه گاه A اجازه هیچ گونه دوران ناشی از اعمال نیرو را نخواهد داد. اما در تکیه گاه B چون تکیه گاه مفصلی است و لنگر گیرداری صفر است، پس مانعی برای دوران تیر در اثر اعمال نیرو وجود نخواهد داشت.

گشتاور تکیه گاهی

شکل ۵: چگونگی رفتار تکیه گاه گیردار و مفصلی در مقابل گشتاور اعمالی بر تیر

نکات محاسبه گشتاور نیرو یک گام فراتر

مطابق شکل ۶  با استفاده از یک جک هیدرولیکی نیروی جانبی F را بر یک ستون با پای گیردار وارد می کنیم و با گذشت زمان، مقدار نیروی وارده را زیاد می کنیم، گشتاور و نیروی برشی را زمانی که F=20  کیلو نیوتن باشد، در پای ستون به دست آورید. به نظر شما خرابی ستون به چه عواملی بستگی دارد و چه زمانی خرابی رخ خواهد داد؟ با توجه به شرایط بارگذاری، اگر حداکثر نیروی ممکن را به ستون وارد کنیم آیا خرابی حتمی است؟

حل: در اولین گام، باید جهت قراردادی مثبت را برای گشتاور انتخاب کنیم، فرض می کنیم دوران پادساعتگرد جهت مثبت دوران باشد. در گام دوم باید توجه کنیم نیروی F=20 کیلو نیوتن که در فاصله ی عمودی D=2.7  متر از پای ستون وارد می شود، باعث دوران ساعتگرد ستون شده، پس گشتاور (لنگر) منفی ایجاد خواهد شد. حال می توانیم گشتاور و نیروی برشی را در پای ستون بدست بیاوریم.

M=–(۲۰KN)×(۲٫۷ m)= –۵۲KN.m

اگر در جهت x برای نیروها تعادل را بنویسم، می توانیم نیروی برشی در پای ستون را بدست بیاوریم. یعنی:

 ΣFx = 0    F(=20KN) – V=0  → V=20KN+

محاسبه گشتاور و نیروی برشی پای ستون

شکل ۶

در ادامه، وضعیت خرابی ستون را با بیان یک مثال ساده و قابل درک بررسی می کنیم.

قطعاً دیده اید که در یک بازی فوتبال، همواره داور مسابقه چند دقیقه وقت اضافه را در بازی در نظر می گیرد. به نظر شما این زمان اضافه بر اساس چه معیارهایی انتخاب می شود؟ دلیل انتخاب آن چه می تواند باشد؟ معیارهای داور برای انتخاب زمان اضافی می تواند وقت کشی بازیکنان در طول بازی، خطاها، اشتباهات داوری و از این قبیل موارد باشد. پس برای جبران این موارد در انتهای هر نیمه، یک زمان اضافی در نظر گرفته می شود.

در هنگام طراحی سازه ها نیز روال کار به همین صورت است، یعنی مواردی مانند عدم اجرای صحیح، خطای جزئی در محاسبات، قابل پیش بینی نبودن تمامی بارگذاری ها و … از جمله خطاهای قابل وقوع در کار می باشد که مهندس طراح باید بارگذاری های قابل پیش بینی را با توجه به شرایط سازه (یا اجزا مکانیکی) انجام داده و بحرانی ترین حالت را در نظر بگیرد. در ادامه، جهت پوشش دادن خطاهایی که ممکن است به وجود آیند، نیرو یا لنگر و یا تنش را در یک ضریب تجربی به اسم ضریب ایمنی ضرب و طراحی نهایی را بر اساس این عدد بدست آمده انجام داده تا مقطع قوی تری را برای جبران این خطاها طراحی کند.

پس برای ستون شکل ۶ می توان گفت که خرابی ستون تا حد زیادی به موارد ذکر شده بستگی دارد و در نتیجه چون بارگذاری ای که قابل پیش بینی بوده است را بر ستون اعمال کردیم، پس دچار خرابی نخواهد شد و به ظرفیت نهایی خود نخواهد رسید.

محاسبه گشتاور حول نقطه در فضای سه بعدی

یکی از مباحث بسیار مهم مطرح شده در این حیطه، محاسبه گشتاور در فضای سه بعدی بوده که بیشتر به لحاظ بررسی محورها حائز اهمیت است. به همین دلیل محاسبات مربوط به گشتاور حول نقطه و محور را در بخش های مجزا به طور مفصل شرح خواهیم داد.

  • گشتاور حول مرکز مختصات

بعضی مواقع هنگام وارد شدن نیرو به یک جسم، گشتاور گیری حول نقاط خاصی از جسم برای ما اهمیت دارد. مثلاً قسمتی از جسم که احتمال می دهیم لنگر در آن نقطه یا نقاط تغییرات قابل توجهی خواهد داشت. پس جهت شناسایی دقیق تر تغییرات حول نقطه ای مشخص، گشتاور را حساب می کنیم. این نقطه ممکن است مرکز مختصات یا نقطه ای دیگر بوده که در این صورت باید مختصات کامل این نقطه برای ما مشخص باشد.

حال اگر مرکز مختصات را مرکز گشتاور در نظر بگیریم و محل اثر نیرو، نقطه ای در فضا با مختصات A = (xA yA zA)  باشد، بردار r که وصل کننده ی مرکز گشتاور به محل اثر نیرو است به صورت r = (rx ry rz)  بوده و مؤلفه های نیرو پس از تجزیه به صورت  F = FXI + FYJ + FYJخواهند بود.

با توجه به فرمول گشتاور و با استفاده از مفاهیم ضرب خارجی دو بردار خواهیم داشت: (به شکل ۷- آ توجه کنید.)

محاسبه گشتاور نیرو حول یک نقطه

محاسبه گشتاور حول یک نقطه در فضای سه بعدی

شکل ۷

پس حاصل ضرب خارجی به صورت دترمینان زیر خواهد بود.

آموزش گشتاو در استاتیک

 

یادآوری:

درتعیین جهت گشتاور، چون گشتاور به صورت ضرب خارجی دو بردار نوشته می شود، بنابراین جهت تعیین جهت آن باید از قانون دست راست که برای ضرب خارجی به کار می رود استفاده کنیم. به این صورت که، اگر دست خود را به صورت باز شده در جهت بردار r قرار دهیم، و سپس دست خود (انگشتان خود) را طوری ببندیم که به سمت بردار F بسته شود، جهت انگشت شست هم جهت با بردار گشتاور M خواهد بود (مطابق شکل ۷-ب).

  • گشتاور حول نقطه ای غیر از مرکزمختصات

سؤال: در شکل ۷-آ اگر مرکز گشتاور را نقطه ای غیر از مرکز مختصات انتخاب کنیم، در محاسبه گشتاور شاهد چه تغییراتی خواهیم بود؟ آیا این کار باعث تغییر در عملکرد جسم می شود؟

برای رسیدن با پاسخ این سؤالات ابتدا بیایید که تغییرات ایجاد شده را بررسی کنیم. با توجه به تغییراتی که در صورت سؤال به آن ها اشاره شد، مرکز گشتاور، نقطه ای دلخواه مانند  Bبا مختصات B = (XB ، YB ، ZB)خواهد بود و محل اثر نیرو در مختصات A= (XA،YA،ZA)است. پس بردار r  که مرکز گشتاور یعنی B را به محل اثر نیرو (نقطه A) وصل خواهد کرد با توجه به مفاهیم بردار ها به صورت زیر تعیین می شود:

روش محاسبه گشتاور

 

و از تجزیه نیرو با توجه به راستای آن خواهیم داشت:

 

اگر ضرب خارجی را برای این دو بردار بنویسیم، داریم:

 

همان طور که ملاحظه کردید با اینکه مرکز گشتاور را تغییر دادیم با استفاده از مفهوم گشتاور، دوباره به همین ضرب خارجی رسیدیم. پس می توان به این صورت بیان کرد که، مرکز گشتاور هر نقطه ای که باشد (خارج از امتداد نیرو) می توان حول آن گشتاور گرفت، ولی همواره باید به این نکته ی مهم توجه نمود که قبل از نوشتن فرمول ها، تغییرات ایجاد شده را شناسایی و آن ها را لحاظ کنیم.

گشتاور یک کمیت برداری است و برای تعیین علامت آن با توجه به مفاهیم ضرب بردارها از قانون دست راست استفاده خواهیم کرد (به شکل ۷-ب مراجعه کنید).

لازم به تذکر است که بردار  M همچنان بر صفحه شامل  F و r عمود خواهد بود. حال جهت تسلط بهتر بر مطالب ذکر شده، به حل دو مثال پرکاربرد خواهیم پرداخت.

مثال ۱) با توجه به سیستم زیر، گشتاور نیروی F را حول نقطه ی O (مرکز مختصات) بدست آورید.

فرمول گشتاور د استاتیک

شکل ۸

 

حل : با توجه به راستایی که نیروی F در امتداد آن وارد شده است باید آن را با توجه به مباحث بردارها به مؤلفه هایش تجزیه کنیم.

اما در صورت تسلط بر حل دترمینان، راه حل ساده تری هم وجود دارد. ابتدا دو نقطه از امتداد BC (همان امتداد نیرو) را انتخاب کرده و بردار هادی  UBCرا با استفاده از آن دو نقطه تعیین می کنیم (معمولاً نقاطی را انتخاب می کنیم که حجم محاسبات کمی را در پی داشته باشند) و سپس بردار نیرو را به کمک اندازه آن و بردار هادی اش (بردار جهت راستای BC) بدست می آوریم.

B = (1, 4, 2)

C = (5, 0, 0)

نحوه محاسبه گشتاور در استاتیک

 

 

 

 

 

نکته: در تعیین بردار r باید توجه کنیم که این بردار می تواند مرکز گشتاور را به هر نقطه از امتداد نیرو متصل می کند، پس این نقطه را طوری انتخاب می کنیم که حجم محاسبات را به حداقل برسانیم. در این مسئله خاص ما نقطه C را انتخاب می کنیم، چرا که بردار نیروی F بر روی امتداد خود می تواند به این نقطه منتقل شود پس:

مفهوم گشتاور استاتیک

 

حال گشتاور را با استفاده از فرمول آن بدست می آوریم:

محاسبه گشتاور حول یک نقطه با فرمول

 

 

 

مثال ۲) اگر بر لبه انتهایی تیر کنسولی زیر نیروی  نمونه سوال گشتاور اثر کند، گشتاور این نیرو را حول نقطه ی A بدست آورید.

 

محاسبه گشتاور حول یک نقططه با مثال

شکل ۹

حل : با توجه به اینکه مرکز گشتاور نقطه ای غیر از مرکز مختصات است، پس ابتدا باید این تغییرات را در بردار  لحاظ کنیم. یعنی ابتدا دو نقطه در امتداد آن انتخاب کرده و سپس بردار AB را تشکیل می دهیم.

محاسبه گشتاور بار

 

 

با توجه به صورت سؤال نیروی وارد شده برابر نمونه سوالات محاسبه گشتاور  است، پس گشتاور نیروی F حول نقطه ی A به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:

محاسبه گشتاور حول یک محور

 

 

 

 

محاسبه گشتاور حول یک محور در فضای سه بعدی

تا به اینجا، با هم نحوه محاسبه گشتاور حول یک نقطه را آموختیم. اما مورد مهمی که جای بحث دارد این است که، ما همواره گشتاور را حول نقطه ای واحد نمی خواهیم و در بیشتر موارد (مثلاً طراحی دستگاه های گمانه زنی یا دستگاه های حفاری تونل و دیفرانسیل ماشین)، گشتاور حول یک محور مشخص مانند a حائز اهمیت بوده و کاربردی تر می باشد.

در این موارد باید توجه داشت که چون محور موردنظر دلخواه می باشد به تبع آن بردار هادی نیز برای هر محور مشخص، متفاوت خواهد بود. پس به عنوان یک اصل کلی باید همواره به این توجه کرد که ابتدا بردار هادی هر محور را با توجه به نقاط مشخص شده ی کمکی تعیین کنیم.

همانطور که دیدیم، معادله ی گشتاور حول مرکز مختصات به صورت زیر بیان می شد:

محاسبه گشتاور حول یک محور

 

 

حال اگر مطابق شکل ۱۰ محور دلخواه a را داشته باشیم، برای تعیین گشتاور نیروی F حول آن، ابتدا کافیست بردار یکه هادی آن محور را مطابق فرمول زیر بدست آورده و سایر مراحل را همانند مثال ۱ تکرار کنیم.

راه حل محاسبه گشتاور استاتیک

 

مفهوم گشتاور نیرو

شکل ۱۰

پس معادله ی گشتاور حول یک محور دلخواه a با بردار هادی ua برابر دترمینان زیر خواهد بود:

بیان گشتاور به زبان ساده

                                       

 

یادآوری :

حاصل ضرب عددی سه گانه را می توان به ترتیب زیر و به صورت یک دترمینان محاسبه کرد.

معادله ی گشتاور حول یک محور

 

 

 

حال وقت آن رسیده است که با هم چند مثال جامع حل کنیم.

مثال ۳) با توجه به شکل زیر نیروی  حل مثال محاسبه گشتاور را به انتهای نقطه ی B اعمال می کنیم، گشتاور حاصل از این نیرو را حول محور واصل نقاط A و C بصورت برداری تعیین کنید.

نحوه محاسبه گشتاور در استاتیک

شکل ۱۱ 

حل: ابتدا باید با توجه به محور خواسته شده، دو نقطه از آن را مشخص کرده و بردار یکه هادی اش را تعیین کنیم.

مفهوم گشتاور در استاتیک

 

 

 

در این مرحله نیز برای تعیین بردار r که وصل کننده ی مرکز گشتاور به محل اثر نیرو است، می توان هر نقطه از محور AC را به نقطه B (محل اثر نیرو) وصل کرد و تنها باید توجه داشته باشیم نقاطی را انتخاب کنیم که حجم محاسبات حداقل را در پی داشته باشند. پس با انتخاب نقاط C و B خواهیم داشت:

گشتاور ساعتگرد و پادساعتگرد

 

 

حال گشتاور نیروی F را حول محور AC به کمک ضرب داخلی بردارها محاسبه می کنیم:

محاسبه گشتاور به صورت گام به گام

 

 

 

 

همانطور که می دانید جواب نهایی ضرب داخلی، به صورت عدد می باشد، اما در صورت سؤال اشاره شده است که بردار گشتاور را محاسبه کنیم. پس برای اینکه به خواسته مسئله برسیم باید از فرمول فرمول گشتاور بردار موردنظر را بدست آوریم. یعنی:

بردار گشتاور استاتیک

 

 

مثال ۴) با استفاده از زنجیر CD و دو پین، یک درب فولادی را مطابق شکل ۱۲ مهار نموده ایم، در موقعیتی که درب با سطح زمین زاویه ی  می سازد در زنجیر نیروی F=80 نیوتن ایجاد خواهد شد، گشتاور حاصل از نیروی F  را حول محور عبوری از مرکز دو پین تعیین کنید.

نحوه محاسبه گشتاور در استاتیک

شکل ۱۲

حل: ابتدا محور a-a عبوری از مرکز پین ها و بردار rADرا مشخص می کنیم (در این سؤال می توانستیم بردار r را به صورت rAC یا هر نقطه ای دیگر از محور a-a انتخاب کنیم ولی از آنجایی که بردار AD محاسبات کمتر و آسان تری را داشت، آن را انتخاب نمودیم)، یعنی:

گشتاور به زبان ساده

 

 

در این مرحله به کمک نقاط  Dو C بردار هادی نیرو را بدست آورده و سپس مؤلفه های نیرو را تعیین می کنیم.

محاسبه نیروی موثر در گشتاور

 

 

 

 

 

در این سؤال چون محور انتخاب شده موازی محورهای اصلی دستگاه مختصات است، پس بردار هادی آن با بردار هادی محور X یکسان خواهد بود (جهت تمرین بیشتر با انتخاب دو نقطه ی دلخواه از محور a-a این نکته را اثبات کنید). در نتیجه گشتاور نیروی  حول محور a-a بصورت زیر قابل محاسبه است:

محاسبه گشتاور حول یک محور

قضیه وارینون

همانطور که ملاحظه کردید، تا به این مرحله جسم هایی را بررسی می کردیم که بر آن ها تنها یک نیرو اثر می کرد، حال قصد داریم به ارائه ی یک قضیه ی پرکاربرد با عنوان قضیه وارینون بپردازیم.

برطبق این قضیه، اگر بر یک جسم چندین نیرو به طور همزمان اعمال شوند، گشتاور نهایی نسبت به مرکز گشتاور، برابر با مجموع گشتاورهای هر یک از نیروها حول مرکز گشتاور خواهد بود، به بیانی دیگر داریم:

قضیه وارنیون

عوامل موثر بر گشتاور نیرو چیست

شکل ۱۳

 

مثال ۵) بر میله ی شکل ۱۴ دو نیرو به طور همزمان اثر می کنند، گشتاور حاصل از این دو نیرو را حول نقطه ی O بدست آورید.

 

محاسبه گشتاور حاصل از دو نیرو

شکل ۱۴

 

 حل: با توجه به این که بر میله ی مورد نظر دو نیرو اثر می کنند، پس باید برای هر نیرو بردار r را به صورت جداگانه بدست آوریم.

نمونه سوال محاسبه گشتاور

 

 

با توجه به نیروهای اعمالی بر میله خواهیم داشت:

 

 

پس با کمک قضیه ی وارینون، گشتاور دو نیروی F۱ و F۲  حول نقطه ی O به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:

 

قضیه وارینیون

 

 

 

قضیه وارینون یا صل گشتاور

شکل ۱۵

نتیجه گیری

– اعمال نیرو بر یک جسم باعث ایجاد تمایل به دوران در آن جسم، حول یک مرکز به اسم مرکز گشتاور می شود و گشتاور ایجاد شده در سیستم با توجه به نوع تکیه گاه آن بر سیستم اثر گذاشته و این اثر مستقیماً در طراحی وارد شده و در نظر گرفته می شد.

در این بین یکی از عوامل اصلی که در تعیین اندازه گشتاور دخالت دارد، فاصله نقطه اثر نیرو تا مرکز گشتاور بوده، که هرچه این فاصله بیشتر شود، مقدار گشتاور (لنگر) نیز افزایش خواهد یافت. (مانند الاکلنگ یا آچاری که در شکل ۱۶ نشان داده شده است، به این صورت که هرچه از وسط الاکلنگ دور شویم، راحت تر می توان طرف مقابل را از روی زمین بلند کرد یا به هنگام باز کردن پیچ با آچار نیز شرایط مشابهی برقرار است.)

نحوه محاسبه گشتاور در استاتیک

شکل ۱۶

-گشتاور ایجاد شده در فضای سه بعدی با استفاده از ۳ مؤلفه برداری مشخص می شود و تغییر در پارامترهای تاثیرگذار بر این مؤلفه ها از اهمیت خاصی برخوردار است و می بایست با توجه به سیستم داده شده و خواسته های مسئله، تغییرات لازم را لحاظ کنیم.

– تجربه دیداری همه ما ثابت کرده، بیشتر دستگاه ها و سیستم هایی که در واقعیت درحال فعالیت هستند، همزمان چندین نیرو بر آن ها وارد می شود و یا شرایط خاصی را برای گشتاور گیری دارند، که با استفاده از قضیه ی وارینون تحلیل این گونه سیستم ها نیز میسر خواهد شد.

منابع

  1. جزوه ی استاتیک دکتر قاسمیه_دانشگاه تهران
  2. ENGINEERING MECHANICS STATICS 12 EDITION R. C. HIBBELER
مهندس شادمان محمدی

نوشته‌های مرتبط

قوانین ارسال دیدگاه

  • دیدگاه های فینگلیش تایید نخواهند شد.
  • دیدگاه های نامرتبط به مطلب تایید نخواهد شد.
  • از درج دیدگاه های تکراری پرهیز نمایید.
دیدگاه‌ها

*
*

0